Introduction
Le calcul tensoriel est un outil puissant en mathématiques et en physique, permettant de généraliser la notion de vecteur et de manipuler des objets qui se transforment de manière spécifique lors de changements de coordonnées. Au cœur de cette théorie se trouve le concept de tenseur et les opérations que l'on peut effectuer sur eux, notamment le produit tensoriel et le produit tensoriel contracté. Cet article a pour but de définir et d'explorer en détail le produit tensoriel contracté, en mettant en lumière son importance et ses applications.
I. Algèbre Tensorielle : Définitions et Concepts Fondamentaux
I.1. Tenseurs : Généralisation des Vecteurs
Un tenseur est un objet mathématique qui généralise les concepts de scalaires (tenseurs d'ordre zéro), de vecteurs (tenseurs d'ordre un) et de matrices (tenseurs d'ordre deux). Les tenseurs sont définis par leurs composantes, qui se transforment selon des règles précises lors de changements de bases. Cette transformation garantit que les propriétés physiques ou géométriques décrites par le tenseur restent inchangées, quelle que soit la base choisie.
I.2. Vecteurs Covariants et Contravariants
Dans un espace vectoriel, on distingue deux types de vecteurs : les vecteurs covariants et les vecteurs contravariants. Les composantes contravariantes se transforment de façon opposée à la base, tandis que les composantes covariantes se transforment de la même façon que la base. Cette distinction est cruciale pour comprendre comment les tenseurs se transforment lors de changements de coordonnées. Si l'on considère des vecteurs $\mathbf {x}=x{i}\,\mathbf {e^{i}}$, $\mathbf {y}=y{j}\,\mathbf {e^{j}}$, $\mathbf {z}=z^{k}\,\mathbf {e_{k}}$, on peut manipuler leurs composantes pour former des tenseurs.
I.3. Produit Tensoriel Ordinaire
Le produit tensoriel ordinaire de deux tenseurs est une opération qui combine leurs composantes pour former un nouveau tenseur d'ordre supérieur. Plus précisément, si l'on a deux tenseurs $\mathbf{U}$ et $\mathbf{V}$ de rangs respectifs $p$ et $q$, leur produit tensoriel $\mathbf{T} = \mathbf{U} \otimes \mathbf{V}$ est un tenseur de rang $p+q$. Les composantes de $\mathbf{T}$ sont obtenues en multipliant chaque composante de $\mathbf{U}$ par chaque composante de $\mathbf{V}$. On appelle produit tensoriel, ou produit de Kronecker, le produit de chaque composante d'un tenseur par chaque composante d'un autre tenseur.
Par exemple, considérons les composantes de deux tenseurs, $u^{ijk}$ et $v{lmrs}$. Le produit tensoriel de ces deux tenseurs donnera un tenseur de composantes $u^{ijk}v{lmrs}$.
Lire aussi: Protection anti-moustique allaitement
I.4. Convention d'Einstein et Indices Muets
Pour simplifier l'écriture des expressions tensorielles, on utilise souvent la convention d'Einstein, qui stipule que toute paire d'indices répétés (un indice en position supérieure et un indice en position inférieure) implique une sommation sur toutes les valeurs possibles de cet indice. Ces indices répétés sont appelés indices muets, tandis que les indices qui n'apparaissent qu'une seule fois dans une expression sont appelés indices libres. Avec cette convention, on n'écrit pas les sommations qui deviennent très vite lourdes à traîner.
II. Le Produit Tensoriel Contracté : Définition et Propriétés
II.1. Définition du Produit Tensoriel Contracté
Le produit tensoriel contracté est une opération qui réduit le rang d'un tenseur en sommant sur une paire d'indices, l'un covariant et l'autre contravariant. Cette opération est également connue sous le nom de contraction. Considérons un tenseur euclidien $\mathbf {U}$ de composantes contravariantes $u^{i{1}…i{p}}$. L'opération de contraction consiste à sommer sur une paire d'indices, ce qui réduit l'ordre du tenseur de deux unités.
Plus formellement, si $\mathbf{T}$ est un tenseur d'ordre $p$, on peut contracter $\mathbf{T}$ sur une paire d'indices, disons $i$ et $j$, pour obtenir un nouveau tenseur $\mathbf{S}$ d'ordre $p-2$. Les composantes de $\mathbf{S}$ sont données par :
$S^{i1…i{p-2}} = \sum{k=1}^{n} T^{i1…i{j-1}k i{j+1}…i_{p-2} k}$
où $n$ est la dimension de l'espace vectoriel.
Lire aussi: Produits Essentiels
II.2. Exemple Illustratif
Considérons un tenseur $\mathbf{A}$ de composantes $A^{ij}_{k}$. On peut contracter ce tenseur sur les indices $i$ et $k$ pour obtenir un vecteur $\mathbf{v}$ de composantes :
$v^j = \sum{i=1}^{n} A^{ii}{j}$
Le vecteur $\mathbf{v}$ est le résultat de la contraction du tenseur $\mathbf{A}$.
II.3. Produit Intérieur et Norme : Cas Particuliers de Contraction
Dans un espace euclidien, le produit intérieur de deux vecteurs peut être vu comme un cas particulier de contraction. Si $\mathbf{x}$ et $\mathbf{y}$ sont deux vecteurs, leur produit intérieur est donné par :
$\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = \sum{i=1}^{n} x^i yi$
Lire aussi: Allaitement maternel: le guide
Cette somme est une contraction du produit tensoriel des composantes contravariantes de $\mathbf{x}$ et des composantes covariantes de $\mathbf{y}$, résultant en un scalaire. De même, la norme d'un vecteur peut être exprimée comme la racine carrée du produit intérieur du vecteur avec lui-même, ce qui est également un cas de contraction.
II.4. Contractions Multiples
Il est possible d'effectuer plusieurs contractions sur un même tenseur. Par exemple, on peut contracter un tenseur deux fois, trois fois, ou plus. Pour les produits contractés multiples, on note l'opération avec des points superposés (autant de points que de contraction dans le produit). Par exemple, le produit tensoriel contracté deux fois serait noté avec deux points superposés.
II.5. Propriétés du Produit Tensoriel Contracté
- Réduction du Rang : La contraction réduit le rang d'un tenseur de deux unités à chaque opération.
- Linéarité : La contraction est une opération linéaire.
- Invariance : Le résultat d'une contraction est un tenseur dont les composantes se transforment de manière covariante lors de changements de bases.
- Application aux Vecteurs : Le produit contracté de deux vecteurs est un scalaire, pour des choix arbitraires des vecteurs $\mathbf {x}$ et $\mathbf {y}$.
III. Critère Général de Tensorialité
III.1. Énoncé du Critère
Le produit contracté permet de formuler un critère de tensorialité puissant. Ce critère stipule que si une quantité, obtenue par contraction d'un objet avec un tenseur connu, est elle-même un tenseur, alors l'objet initial est également un tenseur. Ce critère généralise le précédent.
III.2. Application du Critère
Par exemple, si l'on a une quantité $u^{ij}{k}$ et que l'on sait que pour tout vecteur $\mathbf{x}$ de composantes $x^k$, la quantité $u^{ij}{k} x^k$ est un tenseur d'ordre 2, alors on peut conclure que $u^{ij}_{k}$ est un tenseur d'ordre 3. De même, si le produit contracté, est un scalaire, pour des choix arbitraires des vecteurs $\mathbf {x}$ et $\mathbf {y}$, alors la quantité est un tenseur. Ce critère se généralise à des tenseurs d’ordre quelconque.
IV. Applications du Produit Tensoriel Contracté
IV.1. Géométrie Riemannienne
En géométrie riemannienne, le produit tensoriel contracté est utilisé pour définir des objets fondamentaux tels que le tenseur de Ricci et le scalaire de courbure. Le tenseur de Ricci est obtenu en contractant le tenseur de Riemann, qui décrit la courbure de l'espace. Le scalaire de courbure est ensuite obtenu en contractant le tenseur de Ricci avec le tenseur métrique.
IV.2. Relativité Générale
En relativité générale, le produit tensoriel contracté joue un rôle crucial dans la formulation des équations d'Einstein, qui relient la géométrie de l'espace-temps à la distribution de matière et d'énergie. Le tenseur d'Einstein, qui apparaît dans ces équations, est obtenu à partir du tenseur de Ricci et du scalaire de courbure par une opération de contraction.
IV.3. Mécanique des Milieux Continus
En mécanique des milieux continus, le produit tensoriel contracté est utilisé pour définir des quantités telles que la contrainte et la déformation. Ces quantités sont des tenseurs qui décrivent les forces internes et les déformations d'un matériau soumis à des contraintes externes.
IV.4. Physique des Particules
En physique des particules, le produit tensoriel contracté est utilisé pour construire des invariants relativistes, qui sont des quantités qui restent inchangées lors de transformations de Lorentz. Ces invariants sont essentiels pour décrire les interactions entre les particules.
V. Exemples Concrets et Illustrations
V.1. Transformation des Composantes d'un Tenseur
Considérons un tenseur d'ordre un, également appelé vecteur. Les composantes du tenseur sont notées $u'^{lm}$ dans la nouvelle base $\mathbf {e'_{l}}$. On obtient la formule de transformation des composantes d'un tenseur d'ordre un.
V.2. Tenseur Métrique et Produit Intérieur
Dans un espace euclidien, le tenseur métrique $g_{ij}$ permet de définir le produit intérieur de deux vecteurs. Le produit intérieur de deux vecteurs $\mathbf{u}$ et $\mathbf{v}$ est donné par :
$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = g_{ij} u^i v^j$
où $u^i$ et $v^j$ sont les composantes contravariantes des vecteurs $\mathbf{u}$ et $\mathbf{v}$. Cette expression est un exemple de produit tensoriel contracté.
V.3. Calcul de la Trace d'une Matrice
La trace d'une matrice peut être vue comme un cas particulier de contraction. Si $A$ est une matrice de composantes $A^{i}_{j}$, sa trace est donnée par :
$Tr(A) = \sum{i=1}^{n} A^{i}{i}$
Cette somme est une contraction du tenseur $A$.
VI. Importance de l'Invariance
La caractéristique fondamentale de ce système est ce que l'on appelle la notion d'invariance. Le système de coordonnées associé n'est pas nécessairement géométrique, mais il faut cependant que les expressions et les propriétés trouvées aient une signification géométrique. D'un point de vue strictement mathématique, l'objet du calcul tensoriel est donc d'étudier les transformations des composantes des tenseurs par changements de systèmes de coordonnées et d'en déduire des invariants. L'existence du tenseur a permis que soit dépassée l'image classique du vecteur défini dans son espace à trois dimensions, donc trois nombres ou composantes : direction, sens et longueur.
tags: #produit #tensoriel #contracté #définition