Rédigés il y a plus de deux mille ans, les Éléments d'Euclide constituent un texte fondateur de la géométrie classique. Euclide est un des plus grands mathématiciens de l’Antiquité et pourtant on ne connaît pas grand chose de sa vie. Cet article explore l'influence durable d'Euclide sur les mathématiques, tout en reconnaissant le mystère qui entoure sa vie et son œuvre.
L'héritage impérissable des Éléments
L’œuvre phénoménale, « Les éléments », que nous laisse Euclide, servira de base à toute la géométrie pendant plus de 2000 ans. Après la Bible, c'est l'ouvrage qui possède le plus d'éditions. Les mathématiques, telles que nous les connaissons aujourd'hui, sont universelles. Elles peuvent être comprises par tous de la même manière : les vérités qu'elles véhiculent ne sont pas fondées sur des récits personnels ni révélées, mais sont toutes prouvées à l'aide de démonstrations dont les règles de construction sont précises et peuvent être comprises de tous. En ce sens, les mathématiques sont démocratiques ! Euclide a eu une très grande influence sur les mathématiques en général, et sur la géométrie en particulier : la géométrie de base que l'on enseigne encore aujourd'hui lui est redevable. Les Éléments constituent une sorte d'encyclopédie qui rassemble les connaissances de l'époque en géométrie (du plan et de l'espace) et en arithmétique. Cette œuvre se distingue par son exposé synthétique et sa construction didactique sous forme déductive. Elle présente les objets et leurs relations en allant systématiquement du plus simple vers le plus compliqué : en partant de définitions et d'hypothèses explicitement admises, des propriétés sont démontrées par déduction logique en exploitant uniquement des principes ou des acquis antérieurs. Ainsi, elle a servi de modèle pour les générations suivantes en mettant en avant la « démarche hypothético-déductive » qui est utilisée de nos jours en mathématiques.
Composée de 13 livres, cette œuvre est une vraie encyclopédie qui traite des figures géométriques, des polygones inscrits et circonscrits à un cercle, des proportions, de la géométrie dans l’espace ainsi que des nombres. Deux autres livres seront complétés plus tard par Archimède (cercles, cylindres, Apollonius (cônes, coniques : ellipse, parabole, hyperbole). Les premières démonstrations rendent cette œuvre novatrice pour l’époque. Euclide apporte des définitions rigoureuses et démontre les grands théorèmes de ses ancêtres, comme ceux de Thalès de Milet (-624 ; -548) et Pythagore de Samos (-569 ; -475) par exemple.
Les cinq postulats fondamentaux
Dans "Les éléments", on trouve en particulier les cinq postulats qui fondent les bases de la géométrie. « Postulat » vient du latin « postulare = demander ». Un postulat est un principe que l’on demande d’accepter, qui est admis pour établir une démonstration ou pour la poursuite d’une théorie. Voici ces postulats :
- Par deux points distincts, il passe une droite et une seule.
- Tout segment est prolongeable en une droite.
- Deux points distincts étant donnés, il passe un cercle et un seul de centre le premier point et passant par le second.
- Tous les angles droits sont égaux entre eux.
- Par un point extérieur à une droite, il passe une droite et une seule parallèle à la droite donnée.
Ce dernier postulat aussi appelé Postulat d’Euclide est le fondement de la géométrie euclidienne.
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Une méthode axiomatique rigoureuse
L'œuvre euclidienne est couronnée par les Éléments, traduits dans toutes les langues anciennes et modernes, monument mathématique qui a représenté, pendant plus de deux millénaires, un modèle d'exposition déductive d'une science exacte à partir de quelques définitions et propriétés admises sans démonstration. Certes, cette construction n'est pas parfaite, mais la notion de démonstration chez Euclide est déjà la même que la nôtre, et son effort conscient pour renoncer à l'expérience sensible, en dégageant clairement des postulats, est à l'origine de la méthode axiomatique.
Euclide initie alors la méthode axiomatique en construisant la géométrie dans le plan à l'aide d'axiomes et de postulats. Plus clairement, Euclide démontre les théorèmes de géométrie plane à partir de propositions qu'il pose comme vraies (du type : deux quantités égales à une même troisième sont égale entre elles). Grâce à ce point de vue, Euclide fait preuve d'une grande rigueur, très inhabituelle pour son temps.
L'algorithme d'Euclide : un outil toujours actuel
Il invente aussi un algorithme bien célèbre qui porte aujourd’hui le nom d’algorithme d’Euclide permettant de calculer le PGCD de deux nombres. Algorithme qu'il utilise également pour donner une méthode permettant de vérifier que deux nombres sont premiers entre eux.
L'algorithme d'Euclide pour la recherche du PGCD, dont la définition récursive (procédure qui fait appel à elle-même) peut s'écrire : pgcd(a,b) = pgcd(a,r) où a désigne le reste de la division de a par b (division euclidienne). Cette notion de récursion est fondamentale dans les algorithmes mathématiques (et informatiques). Elle permet des programmes de calcul très courts.
Les "Éléments" : une structure en 13 livres
Les Éléments sont divisés en treize livres. Les livres 1 à 6, géométrie plane, les livres 7 à 9, théorie des rapports, le livre 10, la théorie de nombres irrationnels d'Eudoxe, et enfin les livres 11 à 13 de géométrie dans l'espace. Le livre se termine par l'étude des propriétés des cinq polyèdres réguliers et une démonstration de leur existence.
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Le Livre I est précédé des définitions des entités géométriques utilisées par la suite. EUCLIDE définit la notion de points, de ligne, de segments. Le livre II s'inspire des résultats attribués à l'Ecole pythagoricienne relatifs à l'algèbre géométrique. EUCLIDE démontre géométriquement les développements désormais classiques : (a+b)² = a² + 2ab + b² ; a(b+c+..) =ab + ac + … Le produit ab étant interprété comme l'aire d'un rectangle de côtés a et b. EUCLIDE considèrera toujours que les nombres sont associés à des grandeurs : longueurs de segments, aires et volumes. Le livre IV est consacré aux polygones, à leur construction (à la règle et au compas) et à leur inscription dans un cercle. Ces résultats semblent être inconnus des pythagoriciens et les historiens les attribuent souvent aux sophistes, membres de la première grande école athénienne au 5ème siècle av. Le livre V est d'un niveau mathématique bien supérieur. Il traite de la théorie des proportions et est communément attribué aux travaux d'EUDOXE (vers 400 av. J.-C. - vers 347 av. J.-C.). Si les pythagoriciens avaient aussi développé une théorie des proportions, celle-ci ne s'appliquait qu'aux grandeurs commensurables (c'est à dire aux fractions, pas à √2 par exemple). EUCLIDE élargit le champ d'application de cette théorie. Le livres VII, VII et IX sont consacrés à la théorie des nombres (entier supérieur à 2 bien sur), que l'on nomme maintenant arithmétique. Dans le livre VII, il expose l'algorithme qui porte son nom (l'algorithme d'EUCLIDE), et qui permet de trouver le PGCD de deux entiers. Il l'utilise pour prouver que deux nombres sont premiers entre eux. Le livre VIII porte sur les proportions et les progressions géométriques. Dans Le livre IX, on trouve à la proposition 20, la démonstration par l'absurde de l'existence d'une infinité de nombres premiers. Le livre X utilise presque tout ce qui a été démontré dans les livres précédents pour étudier les lignes commensurables ou incommensurables entre elles. Le livre XII présente la méthode dite « d'exhaustion » (cf. rem), sorte de méthode d'intégration reprise aussi par Archimède, et qui permet d'établir des résultats sur la mesure du cercle, de la pyramide, du cône et de la sphère. Ce livre est parfois aussi attribué à EUDOXE (vers 400 av. J.-C. - vers 347 av.
Une vie énigmatique
Et pourtant, cet auteur est assez méconnu : on ignore presque tout de sa famille, de son éducation, de ses maîtres… On ne connaît même pas de façon précise sa ville d'origine, ni ses dates de naissance et de mort. En fait, les seuls renseignements connus à propos de sa vie proviennent de commentaires sur son œuvre. Certains de ses successeurs l'appellent Euclide d'Alexandrie. Avec de tels renseignements, on peut estimer qu'Euclide est né vers - 330 et mort vers - 275. En outre, certains écrivains ont émis des doutes à propos de l'existence même du mathématicien ! Le mystère reste donc entier. Si l'on devait se contenter de rédiger une notice biographique de la vie d'Euclide, alors elle serait très courte : on ne sait rien, ou presque, de celui que l'on peut considérer comme le plus grand enseignant de mathématiques de l'histoire.
Tout juste pense-t-on qu'il étudia à l'école des successeurs de Platon à Athènes, avant de s'établir à Alexandrie, sous l'invitation de Ptolémée I. Né à Athènes vers 330 av J.-C., Euclide aurait enseigné en Egypte dans la belle ville d’Alexandrie. Sous le règne du roi Ptolémée Ier, Euclide fréquente notamment les couloirs du Musée, véritable centre intellectuel d’Alexandrie.
Témoignages indirects et estimations chronologiques
Proclus (412- 485) a signalé, dans un commentaire des Éléments, qu'Euclide connaissait des travaux d'Eudoxe (environ - 408 ; environ - 355) et de Théétète d'Athènes (environ - 415 ; environ - 369), mais qu'il était « plus ancien » qu'Archimède (environ - 287 ; - 212) et qu'Ératosthène (environ - 276 ; - 194).
D'après Proclus, Euclide enseignait, à Alexandrie, sous le premier Ptolémée, soit entre 323 et 285 avant notre ère. Il appuie son affirmation sur l'autorité d'Archimède « car, écrit-il, Archimède qui survint postérieurement au premier Ptolémée mentionne Euclide ».
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La comparaison des Phénomènes d'Euclide avec le traité De la sphère en mouvement d'Autolycos de Pitane porte à admettre l'antériorité de ce dernier, qui fut le maître d'Arcésilas, fondateur selon Diogène Laërce de la moyenne Académie. Celui-ci ayant vécu entre 314 et 240, on peut considérer comme approximativement contemporains Euclide et Arcésilas, si l'on accepte que le premier ait été plus ancien qu'Archimède. On peut en conclure avec vraisemblance qu'Euclide est postérieur à Platon, à Eudoxe, à Aristote, à Autolycos et qu'il appartient donc soit aux dernières décennies du IVe siècle, soit plus probablement au IIIe.
Biographie courte de Euclide - On sait peu de choses sur la vie d'Euclide, célèbre mathématicien à l'origine de la théorisation de la géométrie.
Un homme ou une école ?
Au juste, personne ne peut affirmer avec certitude si Euclide était un historien des sciences, chef d'une école, et s'il écrivit ses ouvrages pour son enseignement. Ou bien s'il confiait leur rédaction à ses élèves, qui auraient pu continuer à publier sous le nom d'Euclide même après sa mort. Les difficultés de la chronologie, lorsque l'on accepte l'existence physique d'un seul Euclide, s'atténuent si l'on admet que son nom est le titre collectif d'une école mathématique. On pourrait concevoir un mathématicien Euclide, entouré d'élèves groupés en ateliers sous sa direction et continuant, peut-être encore après sa mort, à produire des ouvrages signés de son nom. C'est un peu la situation de Pythagore et de ses disciples. Il est de tradition de rattacher aux débuts de l'École le géomètreEuclide. Mais nous ne savons rien de positif sur ce savant qui est cité pour la première fois par Apollonios, vers la fin du IIIe siècle avant J.-C.
L'œuvre d'Euclide : bien plus que les Éléments
Quoi qu'il en soit, ce qu'il faut retenir d'Euclide ce sont ses publications, multiples et variées. Elles concernent l'astronomie, la mécanique, la musique, l'optique, et bien entendu les mathématiques, avec plusieurs ouvrages de géométrie. Son œuvre ne s’arrête pas aux "Eléments". Il énonce 94 propositions sur les figures dans « Data », il étudie des partages de constructions dans « Les divisions », il étudie les perspectives dans « Optique » et dans «Phénomène», il traite d’astronomie.
Ce que l'on connait bien d'Euclide, ce sont les ouvrages qui nous sont parvenus signés de son nom, parmi lesquels Données, et surtout les 13 volumes des Éléments. Du reste, on ne sait pas trop quel est le rapport exact entre Euclide et les connaissances qu'il expose. Il semble bien qu'aucun des résultats des Eléments ne soit dû à Euclide, et que son oeuvre consiste en une remise à plat de différentes notions exhibées par des mathématiciens divers.
Une liste d'ouvrages attribués
Les Eléments (13 livres), les Données, la Division des figures, les Phénomènes et l'Optique, sont autant d'ouvrages qui lui sont attribués et qui nous sont tous parvenus. On compte aussi "une Catoptrique" (géométrie des rayons réfléchis), et "une introduction harmonieuse", ouvrages qui portent son nom mais dont l'origine semble douteuse. On connaît une version arabe de son traité sur la division des figures et Pappus (6ème ap.
Voici une liste plus complète des œuvres attribuées à Euclide :
- Éléments (vers 300 av. J.-C.).
- Données (94 théorèmes)
- Introductio harmonica, où il traite de la musique ;
- Optique et Catoptrique ;
- De la division des polygones (De divisionibus), ouvrage contesté et dont il ne reste qu'une version latine ;
- Les Porismes, restitués d'après l'analyse laissée par Pappus et publiés en 1860 à Paris par Michel Chasles.
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