Introduction
En mathématiques et en physique, les tenseurs sont des objets algébriques qui généralisent les scalaires, les vecteurs et les matrices. Ils sont essentiels pour décrire des relations multidimensionnelles entre des vecteurs dans un espace vectoriel. Cet article se concentre sur le concept de tenseur double contracté, en explorant sa définition, ses propriétés et son importance dans divers domaines.
Ordre et Valence d'un Tenseur
Ordre
L'ordre d'un tenseur est déterminé par le nombre d'indices nécessaires pour décrire ses composantes. Un scalaire, tel que la masse ou la température en mécanique classique, est un tenseur d'ordre 0. Un vecteur, comme la force ou le déplacement, est un tenseur d'ordre 1.
Valence
La valence d'un tenseur se réfère au type de ses indices, qui peuvent être contravariants (indiqués en exposant) ou covariants (indiqués en indice). Cette distinction est cruciale car elle reflète le comportement du tenseur face aux transformations linéaires de l'espace. Un tenseur de type (n, m) possède n indices contravariants et m indices covariants. Il est important de noter que l'ordre des indices n'est pas spécifié par la valence. Les vecteurs sont des tenseurs d'ordre 1 contravariants, tandis que les formes linéaires sont des tenseurs d'ordre 1 covariants.
La conversion d'un indice covariant en contravariant peut être réalisée par un produit tensoriel contracté avec le tenseur métrique.
Opérations de Base sur les Tenseurs
Somme et Multiplication par un Scalaire
La somme de tenseurs de même ordre et de même valence produit un tenseur du même ordre et de la même valence. De même, la multiplication d'un tenseur par un scalaire résulte en un tenseur du même ordre et de la même valence.
Lire aussi: Poussette double Evy : Comparatif et recommandations
Produit Tensoriel
Le produit tensoriel de deux tenseurs A (d'ordre n) et B (d'ordre p) génère un tenseur d'ordre (n+p). Les n premiers indices du tenseur résultant proviennent de A, et les p indices suivants proviennent de B, conservant leurs valences respectives. Chaque composante du résultat est le produit des composantes de A et B associées à leurs indices respectifs.
Par exemple, le produit tensoriel de deux formes linéaires (tenseurs d'ordre 1 covariants) représente une forme bilinéaire, linéaire par rapport à chacune des variables des formes linéaires de départ.
Contraction
La contraction d'un tenseur sur deux indices, l'un covariant et l'autre contravariant, diminue l'ordre du tenseur de 2. Ainsi, un tenseur d'ordre n devient un tenseur d'ordre n-2 après contraction.
Produit Tensoriel Contracté
Le produit tensoriel contracté entre deux tenseurs A (d'ordre n) et B (d'ordre p) est un tenseur d'ordre (n+p-2). Les n-1 premiers indices proviennent de A, et les p-1 derniers proviennent de B, en conservant leurs valences. Ce produit est obtenu en effectuant un produit tensoriel suivi d'une contraction entre l'indice n et l'indice n+1 du tenseur d'ordre n+p.
Généralisation : Le Double-Produit Contracté et au-delà
Le concept de produit tensoriel contracté peut être étendu. Un double-produit contracté résulte en un tenseur d'ordre n+p-4, un triple-produit contracté en un tenseur d'ordre n+p-6, et ainsi de suite. De manière générale, un p-produit contracté définit un produit scalaire pour l'espace vectoriel des tenseurs d'ordre p.
Lire aussi: Avis et comparatif poussettes doubles côte à côte
Champs de Tenseurs
Gradient
Le gradient d'un champ de tenseurs d'ordre n est un champ de tenseurs d'ordre n+1. Les n premiers indices conservent la même valence que le tenseur de départ, et l'indice supplémentaire est covariant.
Divergence
La divergence d'un tenseur d'ordre n est un tenseur d'ordre n-1.
Propriétés du Produit Contracté
Associativité
Le produit contracté est associatif si le tenseur central a au moins deux indices. Cependant, si le tenseur central n'a qu'un seul indice, l'associativité peut ne pas être vérifiée.
Contraction Multiple
La contraction peut être appliquée plusieurs fois à la suite d'un produit tensoriel. Le double-produit contracté (noté parfois avec un point dans un cercle ou par deux points dans un cercle) correspond à deux contractions successives après un produit tensoriel.
Critères de Tensorialité
Considérons des vecteurs $\mathbf {x}=x{i}\,\mathbf {e^{i}}$, $\mathbf {y}=y{j}\,\mathbf {e^{j}}$, $\mathbf {z}=z^{k}\,\mathbf {e{k}}$ avec des composantes respectives contravariantes $x^{i}$ et covariantes $y{j}$. Si le produit contracté est un scalaire pour des choix arbitraires des vecteurs $\mathbf {x}$ et $\mathbf {y}$, on obtient un critère de tensorialité qui généralise les précédents. Ce critère se généralise à des tenseurs d’ordre quelconque.
Lire aussi: Poussettes doubles : le guide ultime
tags: #double #contraction #tenseur #définition